将一块半径为$2$的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底$AB$为半圆的直径，上底$CD$的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为$\underline{\qquad\blacktriangle\qquad}.$

魏刚 2017年5月8日於狮子山上

我的解法1：

\(1=\sin^2\dfrac{\theta}{2}+\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\sin^2\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1}{3}\cos^2\dfrac{\theta}{2} +\dfrac{1}{3}\cos^2\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1}{3}\cos^2\dfrac{\theta}{2}\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{1}{3^3}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\cos^6\dfrac{\theta}{2}}\)

\(\Rightarrow \sin\dfrac{\theta}{2}\cos^3\dfrac{\theta}{2}\leqslant\dfrac{3^{\frac{3}{2}}}{16}\)

以\(AB\)的中点\(O\)为坐标原点建系，设梯形的面积为\(S\)，则\(C(2\cos\theta,2\sin\theta)\),\(B(2,0)\)

\(\Rightarrow S=4\sin\theta(\cos\theta+1)=16\sin\dfrac{\theta}{2}\cos^3\dfrac{\theta}{2}\leqslant 3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}\)

我的解法2：

以\(AB\)的中点\(O\)为坐标原点建系，设梯形的面积为\(S\)，则\(C(2\cos\theta,2\sin\theta)\),\(B(2,0)\)

\(\Rightarrow S=4\sin\theta(\cos\theta+1)\)

\(\Rightarrow S^{\prime}=4(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)=0\)

\(\Rightarrow \cos\theta=\dfrac{1}{2},\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow S\)的最大值为\(3\sqrt{3}.\)

多数学生的做法：

猜，猜\(OBC\)为正三角形的时候最大\(.\)

牛X学生的做法：

圆的内接\(n\)边形的面积最大时\(,\)该\(n\)边形为正\(n\)边形\(.\)

巴中吴老师的做法：

面积的呈现方式还是不错的\(,\)但是后面的解法\(\cdots\cdots\)

这个问题也就是\(:\)已知\(x^2+2y^2=4,\)求\(\dfrac{(x+4)y}{2}\)的最大值\(.\)(以下用自主招生考试的常用解法)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x^2+2y^2-4=0 \cdots& \hbox{\ding{192}}\\ \dfrac{(x+4)y}{2} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \dfrac{2x}{y}=\dfrac{8y}{x+4}\cdots\)\ding{193}

由\(\ding{192}\)和\(\ding{193}\)可得

当\(x=2,y=\sqrt{3}\)时\(,S=\dfrac{(x+4)y}{2}\)的最大值为\(3\sqrt{3}.\)